高校入試そっくり問題（1次関数の応用練習問題）

埼玉県の入試でよく出る1次関数の応用問題の類題を用意しました！

ぜひ挑戦してみてね👍

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第1問：グラフの交点と三角形の面積

下の図で、直線$l$は関数 $y = x + 4$、直線$m$は関数 $y = -2x + 10$ のグラフです。直線$l$と$m$の交点をA、直線$l$と$y$軸の交点をB、直線$m$と$x$軸の交点をCとします。 このとき、次の(1)、(2)に答えなさい。

(1) 点Aの座標を求めなさい。

(2) 三角形ABCの面積を求めなさい。ただし、座標軸の単位の長さを1cmとします。

第2問：グラフ上の線分と正方形

下の図で、直線$l$は関数 $y = \frac{1}{2}x + 2$ のグラフです。点Pは直線$l$上の点で、その$x$座標は $a$ ($a > 0$) です。点Pから$x$軸に垂線をひき、$x$軸との交点をQとします。また、点Pから$y$軸に垂線をひき、$y$軸との交点をRとします。 このとき、次の(1)、(2)に答えなさい。

(1) $a = 6$ のとき、線分PQの長さを求めなさい。

(2) 四角形OQPRが正方形になるとき、$a$の値を求めなさい。

第3問：平行な2直線と面積の等分

下の図で、直線$l$は $y = x + 6$、直線$m$は $y = x – 2$ のグラフです。直線$l$と$y$軸の交点をA、直線$m$と$y$軸の交点をBとします。また、直線$l$上に $x$座標が4である点Cをとります。 このとき、次の(1)、(2)に答えなさい。

(1) 点Cの座標を求めなさい。

(2) 原点Oを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

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【ヒントと解法のポイント】

• 第1問のポイント:
  • (1)は2つの式の連立方程式を解きます。
  • (2)は、三角形を軸で分けるか、大きな図形から引くなどして工夫して面積を求めます。
• 第2問のポイント:
  • 点Pの座標を $a$ を使って $(a, \frac{1}{2}a + 2)$ と表すのがコツです。
  • 正方形になるということは、「横の長さ（$x$座標）＝ 縦の長さ（$y$座標）」という方程式が立てられます。
• 第3問のポイント:
  • (2)の「面積を2等分する」問題では、頂点を通る場合は「対辺の中点」を通るという性質を利用します。

解答・解説

第1問

(1) (2, 6)

(2) 9 cm2

第2問

(1) 5

(2) a=4

第3問

(1) (4, 10)

(2) y=413​x