ルートを整数にするnを求める問題解き方！2乗に注目で一発！

平方根の単元で出てくる「ルートを整数にするnを求めなさい」という問題。

・・・わかるかーい！！

となってるあなたも、２乗に注目すればあっという間にできるようになるよ♪

問題は以下の4つをやっていくよ。

まず大前提！2乗の数は中身も2乗

ルートが整数になるためには、ルートの中身が２乗になる必要があるよ。

そんな時は２乗の数の決まりを使おう☝️

ルートが整数になるためのnを見つけるには、つまり『素因数分解して、２乗になっていないもの』を見つければOK！

問題1　基本

【問題1】
\(\sqrt{45a}\) が自然数となるような自然数 \(a\) のうち、もっとも小さいものを求めなさい。

\(\sqrt{45a}\) が自然数になるには、√の中身である\(45a\)が

\(45a\)=●²

の形になっていればOK！

　

ではここで、45を素因数分解するよ💡

素因数分解すると、5が2乗になっていないね。

5を2乗にするには、5をかければいいから

\(45a = 3^2×5×5＝3^2×5^2\)

とするといいね。

つまり\(a = 5\)になれば全部2乗の数になって、ルートの中身が2乗の数に✨

答え
\(a = 5\)

問題2　ルートの中身が引き算

【問題2】
\(\sqrt{17-n}\) が整数となるような自然数 \(n\) の値をすべて求めなさい。

\(\sqrt{17-n}\) が整数となるには、ルートの中身である\(17-n\)が

\(17-n\)＝●²

の形になっていればOK！

　

\(17-n\)で●²になれるのは

\(17-n\)＝1²=1
\(17-n\)＝2²=4
\(17-n\)＝3²=9
\(17-n\)＝4²=16

の4つ！

それぞれの時のnの値を求めると

答え
\(n=1 , 8 , 13 , 18\)

問題3　ルートの中身が分数（最小のn）

【問題3】
\(\sqrt{\frac{1800}{n}}\) が整数となるような自然数 \(n\) のうち、最も小さいものを求めなさい。

\(\sqrt{\frac{1800}{n}}\) が整数となるには、ルートの中身である\(\frac{1800}{n}\) が

\(\frac{1800}{n}\)＝●²

の形になればOK！

　

ではここで1800を素因数分解するよ💡

2乗の数は、素因数分解したときに全部2乗のかけ算になるんだったよね。

今2乗になれていない仲間はずれは「2」

\(\frac{1800}{n}\)＝●²の形になった✨

答え
\(n=2\)

問題4　ルートの中身が分数(nが最大)

【問題4】
\(\sqrt{\frac{1800}{n}}\) が2以上の自然数となるような自然数 \(n\) のうち、最も大きいものを求めなさい。

大丈夫大丈夫、慌てずに、まずはこれまでと同じ考え方をしていくよ。

\(\sqrt{\frac{1800}{n}}\) が自然数となるには、ルートの中身の\(\frac{1800}{n}\)が

\(\frac{1800}{n}\) ＝ ●²

　

問題3で素因数分解したからそれを使うと

1800 = 2²×2×3²×5²

だったね。

よって、ルートが整数2以上になって、nが最も大きくなるのは

\(n=2×3^2×5^2\)

答え
\(n=450\)

まとめ：ルートが整数になる絶対条件は2乗

ルートが整数になるためには、ルートの中身が何かの２乗になっていることが条件

何かの２乗
→素因数分解すると、全部２乗のかけ算になる

だから

1. ルートの中身を素因数分解
2. ２乗になっていないものを探す
3. 条件に合わせてnを決める

この流れでやればあっという間に答えが出るよ✨