ルートの整数部分と小数部分の求め方！超基礎から確認

中３平方根の問題でよく出てくるパターン

・ルートの整数部分と小数部分を求めなさい
・ルートの整数部分をa、小数部分をbとしてa²+b²を値を求めなさい

とか。

そんなあなたに超基礎からお伝えします！

この記事で解説するのは以下の問題💡

まず確認！整数部分と小数部分って？

ではまず、最初に整数部分と小数部分って何？というところを確認しよう💡

例えば、1.141421という小数があります。

この数字の整数部分と小数部分は、

・小数点より左が整数部分
・小数点より右が小数部分

そのまま「141421」って答えると、十四万千四百二十一になっちゃうんだよね。

でも小数ということを伝えるには…

だからこの場合の小数部分は、整数を除いた「0.141421」と答えるようになるよ！

　

この小数部分は、その数全体から整数部分を引くと求めることができるから計算として書くと

1.141421の小数部分
＝1.141421-1
=0.141421

小数部分は、その数全体ー整数部分で求める

問題1　基本

【問題1】
\(\sqrt{7}\) の整数部分と小数部分を求めよ。

では、実際にルートの整数部分、小数部分を求めてみよう！

数直線で考えるとわかりやすいよ✨

数直線の整数をルートに直してみると

\(\sqrt{7}\) は\(\sqrt{4}\)と\(\sqrt{9}\)の間

つまり2と3の間だから\(\sqrt{7}＝2.〇〇〇\) となりそうだね💡

小数点より左が整数部分だから、\(\sqrt{7}\)の整数部分は「2」

　

じゃあ次に小数部分は？

でも大丈夫、さっき確認したね。

小数部分は「その数全体ー整数部分」で出るんだったよね。

だから今、小数部分は\(\sqrt{7}\)から整数部分2を引いて

\(\sqrt{7}-2\)

と答えればOK！

答え
整数部分 2
小数部分 \(\sqrt{7}-2\)

問題2　整数・小数部分を使ってもうひと計算

【問題2】
\(\sqrt{15}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とする。以下の値を求めよ。
(1) \(a\)
(2) \(b\)
(3) \(a + b\)
(4) \(ab\)
(5) \(a^2 + b^2\)

(1)\(a\)　(2)\(b\)

これはさっきの復習だね。

\(\sqrt{15}\) は\(\sqrt{9}\)と\(\sqrt{16}\)の間

つまり3と4の間だから\(\sqrt{15}＝3.〇〇〇\) となりそうだね💡

小数点より左が整数部分だから、\(\sqrt{15}\)の整数部分は「3」。よって

\(a=3\)

小数部分は、その数全体ー整数部分だから、\(\sqrt{15}\)から整数部分3を引くから

\(b=\sqrt{15}-3\)

(3) \(a + b\)

(1),(2)で出たa,bをただ足せばOK！

\(a+b\)
\(＝3+(\sqrt{15}-3)\)
\(=\sqrt{15}\)

(4) \(ab\)

今度はかけ算！

\(ab\)
\(=3×(\sqrt{15}-3)\)
\(＝3\sqrt{15}-9\)

(5) \(a^2 + b^2\)

ここからは、今まで出した値を使うんだけど、少し工夫が必要になるよ！

(1)~(4)までで出したのは

・a
・b
・a+b
・ab

の4つだったね。

そのまま\(a^2 \)と \(b^2\)をそれぞれ出して足してもいいけど、簡単にできる方法があるんだ✨

だから

\(a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab\)

として計算できるんだ💡

じゃぁ実際に数字を当てはめてみるよ！

\(a^2 + b^2\)
\(=(a+b)^2-2ab\)
\(=(\sqrt{15})^2-2×(3\sqrt{15}-9)\)
\(=15-6\sqrt{15}+18\)
\(=33-6\sqrt{15}\)

答え
(1)\(a=3\)
(2)\(b=\sqrt{15}-3\)
(3)\(a+b=\sqrt{15}\)
(4)\(ab＝3\sqrt{15}-9\)
(5)\(a^2 + b^2=33-6\sqrt{15}\)

問題3 問題2をさらに練習！

【問題3】
\(\sqrt{17}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とする。このとき \(a^2 – b^2\) の値を求めよ。

まずは\(\sqrt{17}\) の整数部分、小数部分を出していくよ！

\(\sqrt{17}\) は\(\sqrt{16}\)と\(\sqrt{25}\)の間

つまり4と5の間だから\(\sqrt{17}＝4.〇〇〇\) となりそうだね💡

小数点より左が整数部分だから、\(\sqrt{17}\)の整数部分は「4」。よって

\(a=4\)

小数部分は、その数全体ー整数部分だから、\(\sqrt{17}\)から整数部分4を引くから

\(b=\sqrt{17}-4\)

　

\(a+ b\)
\(=4+(\sqrt{17}-4)\)
\(=\sqrt{17}\)

\(ab\)
\(=4×(\sqrt{17}-4)\)
\(=4\sqrt{17}-16\)

問題2でやったのと同じように式変形をして代入していくよ！

ただ、今度は引き算だから注意⚠️

\(a^2 + b^2\)
\(=(a+b)^2+2ab\)
\(=(\sqrt{17})^2+2×(4\sqrt{17}-16)\)
\(=17+8\sqrt{17}-32\)
\(=-15+8\sqrt{17}\)

答え
\(a^2 – b^2=-15+8\sqrt{17}\)

問題4　式変形別ver.

【問題4】
\(\sqrt{5}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とする。このとき \(a^2 b + ab^2\) の値を求めよ。

\(\sqrt{5}\) は\(\sqrt{4}\)と\(\sqrt{9}\)の間

つまり2と3の間だから\(\sqrt{5}＝2.〇〇〇\) となりそうだね💡

小数点より左が整数部分だから、\(\sqrt{5}\)の整数部分は「2」。よって

\(a=2\)

小数部分は、その数全体ー整数部分だから、\(\sqrt{5}\)から整数部分2を引くから

\(b=\sqrt{5}-2\)

　

\(a+ b\)
\(=2+(\sqrt{5}-2)\)
\(=\sqrt{5}\)

\(ab\)
\(=2×(\sqrt{5}-2)\)
\(=2\sqrt{5}-4\)

さっきまでとはちょっと形が違うけど、共通因数でくくってみると…

\(a^2 b + ab^2\)
\(=ab(a+b)\)
\(=(2\sqrt{5}-4)× \sqrt{5}\)
\(=10-4\sqrt{5}\)

答え
\(a^2 b + ab^2=10-4\sqrt{5}\)

問題5 もとの数が複数項

【問題5】
\(3 – \sqrt{3}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とする。\(a, b\) の値を求めよ。

もとの数がただのルートじゃなくて、整数＋ルートのパターンだよ💡

だから\(\sqrt{3}\) の整数部分は「1」になるね。

じゃぁ\(3 – \sqrt{3}\) はどうなるかな？

だから\(3 – \sqrt{3}\)の整数部分aは「1」になるよ💡

\(a=2\)

　

次に小数部分！

小数部分は、その数全体ー整数部分で求められるんだったよね。

つまり

\(b=(3 – \sqrt{3})-1=2-\sqrt{3}\)

答え
\(a=2\)
\(b=2-\sqrt{3}\)

ルートの整数部分・小数部分の問題はまず整数部分から！

ルートの整数部分・小数部分の問題が出てきたら

・まずは整数部分
・小数部分＝その数全体ー整数部分
・式に代入するときは、abとa+bを駆使すべし✨
・式は共通因数でくくる＆因数分解でab,a+bが出てくる✨

こんなところを意識してみてね。