二次方程式の利用で面積の問題がよく出ます。
何を文字に置けばいいの？
式の書き方は？
答えは結局どれになる？
ここをおさえれば、バッチリ解けるようになるよ✨
以下の問題を例に解説していきます。
問題1
周の長さが\(20cm\)で、面積が\(21\text{ cm}^2\) の長方形があります。この長方形の縦の長さを求めなさい。ただし、縦の長さは横の長さより長いものとします。
問題2
横の長さが縦の長さの3倍の長方形の紙があります。この紙の四隅から、1 辺の長さが\(2cm\)の正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ると、容積が\(96 cm³\) になりました。もとの長方形の紙の縦の長さを求めなさい。
二次方程式の利用を解く際のポイント
二次方程式の利用を解く際の流れで押さえておきたいのは4つ！
- 求めたいものを文字におく
- 文字の範囲はこれ！と示す
- 問題文をそのまま式にする
- 出てきた解が②の条件に合うか
①求めたいものを文字におく
突然文字が出てくると、
ひよこえ、この文字何者！？
ってなっちゃうから、必ず文字の説明をしよう。
面積に関する問題なら「長方形の縦の長さを\(xcm\)とする」という感じ💡
②文字の範囲はこれ！と示す
長方形の縦の長さを\(xcm\)、横の長さを\((14-x)cm\)と置いた場合、縦も横も長さだからプラスの数になるはずだよね。
ということは
\(x>0\)かつ\(x-14>0\)
だから
\(0<x<14\)
③問題文をそのまま式にする
解答を見ている人が
ひよこあれ？この式ってどこから出てきたの？
とならないように、問題文に書いてある形でそのまま式にする。
それから計算スタート！
詳しくはこの後実際の問題でやっていくよ。
④出てきた解が②の条件に合うか
③を計算して出てきた解が②の条件に合うかをチェックするよ💡
「長さ」って言ってるのにマイナスの数だったら、辻褄が合わなくなっちゃうよね。
必ず条件に合うか確認していこう！
みなみこのポイントを押さえれば、完璧な解答になるぞ〜✨
問題1 長方形の面積
問題
周の長さが\(20cm\)で、面積が\(21\text{ cm}^2\) の長方形があります。この長方形の縦の長さを求めなさい。ただし、縦の長さは横の長さより長いものとします。
さっき確認した4つのポイントを押さえて解いていくよ！
まず、式にできそうなところは「面積が\(21\text{ cm}^2\) の長方形」というところ。
長方形の縦×横＝\(21\text{ cm}^2\)
これを使って解答を作っていくよ！
求めたいものが長方形の縦の長さだから、まず長方形の縦の長さを文字におこう。
長方形の縦の長さを\(xcm\)とおくと、
面積の式にするのに横も必要だから横の長さも文字で表すよ。
横の長さは\((10-x)cm\)とおける。
次に文字に置いたものの条件を確認💡
縦は横より長くなるから
\(5<x<10\)
次に式を提示して、計算していくよ。
長方形の面積が\(21\text{ cm}^2\) だから
\(x(10-x)=21\)
\(10x-x^2=21\)
\(x^2-10x+21=0\)
\((x-3)(x-7)=0\)
\(x=3 , 7\)
解が出たから、条件に合う確認☝️
\(5<x<10\)だから
条件を満たすのは\(x=7\)
最後に問題で「求めなさい」と言われているものを答えとして書く
よって長方形の縦の長さは\(7cm\)
【答え】
長方形の縦の長さを\(xcm\)とおくと、横の長さは\((10-x)cm\)とおける。
縦は横より長くなるから
\(5<x<10\)
長方形の面積が\(21\text{ cm}^2\) だから
\(x(10-x)=21\)
\(10x-x^2=21\)
\(x^2-10x+21=0\)
\((x-3)(x-7)=0\)
\(x=3 , 7\)
\(5<x<10\)だから
条件を満たすのは\(x=7\)
よって長方形の縦の長さは\(7cm\)
問題2 直方体の容積
問題
横の長さが縦の長さの3倍の長方形の紙があります。この紙の四隅から、1 辺の長さが\(2cm\)の正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ると、容積が\(96 cm³\) になりました。もとの長方形の紙の縦の長さを求めなさい。
今回式にするのは、「ふたのない直方体の容器を作ると、容積が\(96 cm³\) 」というところ💡
水色のところが底面となって直方体になるんだね。
底面の縦×横×高さ＝\(96 cm³\)
求めたいのは元の長方形の横の長さだけど、式を作るのには底面の縦・横の長さが必要。
だから
・元の長方形の縦、横の長さ
・底面の縦、横の長さ
を文字で表していくよ。
元の長方形の紙は、横の長さが縦の長さの3倍だから
元の長方形の紙の縦の長さを\(xcm\)とすると
横の長さは\(3xcm\)とおける。
次に底面の長さも文字で表す。
直方体は、底面の縦の長さが\((x-4)cm\)、横の長さが\((3x-4)cm\)、高さは\(2cm\)とおける。
必要な長さが揃ったから、\(x\)の条件を確認するよ！
今長さとして出てるのは
\(xcm\)
\(3xcm\)
\((x-4)cm\)
\((3x-4)cm\)
の4つだよね。
これが全部プラスの数になっていないといけないから、まとめてあげると
\(x-4>0\)かつ\(3x-4>0\)だから
\(x>4\)
条件まで出せたから、いよいよ式に入っていくよ！
直方体は容積が\(96 cm³\)だから
\((x-4)(3x-4)×2=96\)
両辺を2で割って
\((x-4)(3x-4)=48\)
\(x^2-16x+16=96\)
\(x^2-16x-80=0\)
\((x-20)(x+4)=0\)
\(x=20 , -4\)
ここで条件と照らし合わせる💡
\(x>4\)だから
問題に適しているのは\(x=20\)
よって、元の長方形の紙の縦の長さは\(20cm\)
【答え】
元の長方形の紙の縦の長さを\(xcm\)とすると
横の長さは\(3xcm\)とおける。
直方体は、底面の縦の長さが\((x-4)cm\)、横の長さが\((3x-4)cm\)、高さは\(2cm\)とおける。
この時
\(x-4>0\)かつ\(3x-4>0\)だから
\(x>4\)
直方体は容積が\(96 cm³\)だから
\((x-4)(3x-4)×2=96\)
\((x-4)(3x-4)=48\)
\(x^2-16x+16=96\)
\(x^2-16x-80=0\)
\((x-20)(x+4)=0\)
\(x=20 , -4\)
\(x>4\)だから
問題に適しているのは\(x=20\)
よって、元の長方形の紙の縦の長さは\(20cm\)
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