二次方程式の利用|動点がつくる面積の練習問題３つ

二次方程式で必ず出てくる点が動く問題！

ポイントになるのは

・点がどこからスタートしてる？
・点はどこからどこまで動く？
・点の速さは？

この３つです！

さぁ練習してみよう✨

解答の書き方が怪しいという時は、こちらの記事を見てみてね⬇️

問題１

\(\angle \text{B} = 90^\circ, \text{AB} = 12\text{ cm}, \text{BC} = 16\text{ cm}\) の直角三角形 ABC があります。点 P は A を出発して、辺 AB 上を毎秒 1 cm の速さで B まで動きます。また、点 Q は点 P と同時に B を出発して、辺 BC 上を毎秒 2 cm の速さで C まで動きます。\(\triangle \text{PBQ}\) の面積が \(32\text{ cm}^2\) になるのは、出発してから何秒後か答えなさい。

　

問題１　答え

点 P が A を出発してから $x$ 秒後とすると、
線分 PB, BQ の長さは
\(\text{PB} = 12 – x \text{ (cm)}, \text{BQ} = 2x \text{ (cm)}\)

ここで、点 P は辺 AB 上、点 Q は辺 BC 上にあるから
\(0\leqq 12 – x \leqq 12, \quad 0 \leqq 2x \leqq 16\)
よって $0 \leqq x \leqq 8$

$\triangle \text{PBQ}$ の面積について
\(\dfrac{1}{2} \times (12 – x) \times 2x = 32\)
\(x(12 – x) = 32\)
\(12x – x^2 = 32\)
\(x^2 – 12x + 32 = 0\)
\((x – 4)(x – 8) = 0\)
\(x = 4, 8\)

\(0 \leqq x \leqq 8\)であるから、これらはともに問題に適している。

答： 4秒後、 8秒後

問題２

\(\text{AB} = 18\text{ cm}, \text{BC} = 10\text{ cm}$\)の長方形 ABCD があります。点 P は A を出発して、辺 AB 上を毎秒 2 cm の速さで B まで動きます。また、点 Q は点 P と同時に B を出発して、辺 BC 上を毎秒 1 cm の速さで C まで動きます。\(\triangle \text{PBQ}\)の面積が \(14\text{ cm}^2\) になるのは、出発してから何秒後か答えなさい。

　

問題２　答え

点 P が A を出発してから $x$ 秒後とすると、
線分 PB, BQ の長さは
\(\text{PB} = 18 – 2x \text{ (cm)}, \quad \text{BQ} = x \text{ (cm)}\)

ここで、点 P は辺 AB 上、点 Q は辺 BC 上にあるから
\(0 \leqq 18 – 2x \leqq 18, \quad 0 \leqq x \leqq 10\)
よって \(0 \leqq x \leqq 9\)

\(\triangle \text{PBQ}\) の面積について
\(\dfrac{1}{2} \times (18 – 2x) \times x = 14\)
\((9 – x)x = 14\)
\(9x – x^2 = 14\)
\(x^2 – 9x + 14 = 0\)
\((x – 2)(x – 7) = 0\)
\(x = 2,7\)

\(0 < x < 9\)であるから、これらは、ともに問題に適している。

答 2秒後と7秒後

問題３

\(\angle \text{B} = 90^\circ, \text{AB} = 8\text{ cm}, \text{BC} = 20\text{ cm}\) の直角三角形 ABC があります。点 P は A を出発して、辺 AB 上を毎秒 1 cm の速さで B まで動きます。また、点 Q は点 P と同時に B を出発して、辺 BC 上を毎秒 3 cm の速さで C まで動きます。\(\triangle \text{PBQ}\)の面積が \(18\text{ cm}^2\) になるのは、出発してから何秒後か答えなさい。

　

問題３　答え

点 P が A を出発してから $x$ 秒後とすると、
線分 PB, BQ の長さは
\(\text{PB} = 8 – x \text{ (cm)}, \quad \text{BQ} = 3x \text{ (cm)}\)

点 P は辺 AB 上、点 Q は辺 BC 上にあるから
\(0 \leqq 8 – x \leqq 8, \quad 0 \leqq 3x \leqq 20\)
よって \(0 \leqq x \leqq \dfrac{20}{3}\)

\(\triangle \text{PBQ}\) の面積について
\(\dfrac{1}{2} \times (8 – x) \times 3x = 18\)
\(\dfrac{3}{2}x(8 – x) = 18\)
\(x(8 – x) = 12\)
\(8x – x^2 = 12\)
\(x^2 – 8x + 12 = 0\)
\((x – 2)(x – 6) = 0\)
\(x = 2, 6\)

\(0 < x < \dfrac{20}{3}\)であるから、これらは、ともに問題に適している

答 2秒後と6秒後