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啓林館：α数学Ⅰ［061-901］
第3章 集合と命題
の問題解答を掲載しています。
オンライン家庭教師みなみが解いた解答を載せているため、間違いがある場合があります。
その際はお問い合わせやコメントで教えていただけますと幸いです。
第1節 集合
1 集合
P100 問1
(1) \(\in\)
(2) \(\notin\)
(3) \(\notin\)
P101 問2
(1) \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}\)
(2) \(\{1, 3, 5, 7, \dots\}\)
P101 問3
(1) \(\{3x \mid 1 \leqq x \leqq 6, xは整数\}\)
(2) \(\{n^2 \mid 1 \leqq n \leqq 9, nは整数\}\)
P102 問4
(1) \(B \subset A\)
(2) \(A = B\)
P102 問5
(1)
\(A \cap B = \{3, 5, 7\}\)
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}\)
(2)
\(A \cap B = \{x \mid -2 \leqq x < 4\}\)
\(A \cup B = \{x \mid -3 < x \leqq 5\}\)
P103 問6
\(\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\)
P103 問7
\(A \cap B \cap C = \{3\}\)
\(A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12\}\)
P104 問8
(1) \(\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}\)
(2) \(A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8, 10\}\)
(3) \(\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 11\}\)
(4) \(\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7, 11\}\)
P104 問9
(1) \(\overline{B} = \{x \mid 5 \leqq x \leqq 10\}\)
(2) \(A \cup \overline{B} = \{x \mid 3 \leqq x \leqq 10\}\)
(3) \(\overline{A} \cap \overline{B} = \{x \mid 6 < x \leqq 10\}\)
P105 問11
(1) \(A \cap B = \{1, 2\}\)
(2) \(\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\)
第2節 命題と証明
1 命題と集合
P107 問12
仮定：\(x^2 = 1\)
結論：\(x = 1\)
P109 問13
(1) 真
(2) 偽（反例：\(x = -1\)）
(3) 偽（反例：\(x = -3\)）
(4) 真
P109 問14
(1) 十分条件
(2) 必要条件
(3) 必要十分条件
P110 問15
(1) \(x > 2\)
(2) \(n\) は偶数である
P110 問16
(1) \(x \geqq 0\) または \(y \leqq 0\)
(2) \(x > -1\) かつ \(x \leqq 3\)
2 逆・裏・対偶
P111 問17
(1) 逆：\(x=1 \Rightarrow x^2=x\)（真）
裏：\(x^2 \neq x \Rightarrow x \neq 1\)（真）
対偶：\(x \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq x\)（偽、反例：\(x=0\)）
(2) 逆：\(x^2=0 \Rightarrow x=0\)（真）
裏：\(x \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 0\)（真）
対偶：\(x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\)（真）
(3) 逆：6の倍数は12の倍数（偽、反例：6, 18など）
裏：12の倍数でないなら6の倍数でない（偽、反例：6）
対偶：6の倍数でないなら12の倍数でない（真）
P112 問18
この命題の対偶「\(n\) が奇数でないならば、\(n\) の平方 \(n^2\) が奇数でない」、すなわち「\(n\) が偶数ならば、\(n^2\) は偶数である」を証明する。
\(n\) が偶数のとき、ある整数 \(k\) を用いて \(n = 2k\) と表せる。
このとき \(n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \cdot (2k^2)\)
\(2k^2\) は整数であるから、\(n^2\) は偶数である。
よって対偶が真であるから、もとの命題も成り立つ。
P113 問19
\(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\) が無理数でないと仮定すると、\(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\) は有理数である。
その有理数を \(r\) とすると、
\(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2} = r\)
\(1+\sqrt{2} = 2r\)
\(\sqrt{2} = 2r – 1\)
\(r\) は有理数であるから、右辺の \(2r – 1\) も有理数となり、左辺の \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する。
よって、\(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\) は無理数である。
P114 問20
「\(\sqrt{3}\) が無理数でない」すなわち「\(\sqrt{3}\) が有理数である」と仮定すると、\(\sqrt{3}\) は 1 以外に正の公約数をもたない自然数 \(a, b\) を用いて \(\sqrt{3} = \dfrac{a}{b}\) と書ける。
両辺を平方して分母を払うと \(a^2 = 3b^2 \cdots ①\)
よって \(a^2\) は 3 の倍数であるから、\(a\) も 3 の倍数である。
ある整数 \(k\) を用いて \(a = 3k\) と表し ① に代入すると、
\(9k^2 = 3b^2\) つまり \(b^2 = 3k^2\)
これより \(b^2\) も 3 の倍数となり、\(b\) も 3 の倍数となる。
これは \(a, b\) が 1 以外に公約数をもたないことに矛盾する。
よって、\(\sqrt{3}\) は無理数である。
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