啓林館：α数学A［061-901］第2章図形の性質解答

2026年5月22日2026年5月23日

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啓林館：α数学A［061-901］
第2章図形の性質

の問題解答を掲載しています。

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その際はお問い合わせやコメントで教えていただけますと幸いです。

第1節　三角形の性質

1 直線と角

p72 問1

(1)

(2)

(3)

p74 問2

頂点 C を通り、直線AQに平行な直線を引き、辺ABの延長との交点をDとする。

また、辺BAの延長上に点Eをとる。

\(AQ// DC\) より、平行線の同位角、錯角はそれぞれ等しいから

\(\angle EAQ = \angle ADC\) （同位角）
\(\angle CAQ = \angle ACD\) （錯角）

仮定より、\(\angle EAQ = \angle CAQ\) であるから
\(\angle ADC = \angle ACD\)

よって、\(\triangle ABD\) は二等辺三角形であり、\(AD = AC\) …①

また、\(AQ// DC\) だから
\(BQ : QC = BA：AD\) …②

①、②より
\(BQ : QC = AB : AC\)

p74 問3

(1) \(BD = \dfrac{10}{3}, CE = 5\)

(2) \(S : T = 1 : 3\)

2 三角形の五心

p75 問4

\(AG = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)

p76 問5

(1) \(x = 50^{\circ}\)

(2) \(x = 120^{\circ}\)

p77 問6

(1) \(x = 80^{\circ}\)

(2) \(x = 115^{\circ}\)

p78 問7

\(BI : IE = 2 : 1\)

p78 問8

\(\triangle ABC\) の外心を \(O\) とする。

仮定より、外心 \(O\) と重心 \(G\) が一致するとき、外心 \(O\) は重心 \(G\) でもある。

重心の性質から、中線を \(2 : 1\) に内分する点である。

また、外心から各頂点への距離は等しいので

\(OA = OB = OC\)

ここで、辺 \(BC, CA, AB\) の中点をそれぞれ \(D, E, F\) とすると、

直線 \(AD, BE, CF\) は外心 \(O\) を通る。

\(\triangle OBC\) は \(OB = OC\) の二等辺三角形であり、\(OD\) は底辺の中線であるから、\(OD \perp BC\) となる。

したがって、中線 \(AD\) は辺 \(BC\) の垂直二等分線となる。

同様に、中線 \(BE\) は辺 \(CA\) の垂直二等分線、中線 \(CF\) は辺 \(AB\) の垂直二等分線となる。

垂直二等分線上の点は、その線分の両端から等距離にあるから、

\(AB = AC\), \(BC = BA\), \(CA = CB\)

したがって

\(AB = BC = CA\)

よって、\(\triangle ABC\) は正三角形である。

3 チェバの定理とメネラウスの定理

p81 問9

(1) \(BP : PC = 3 : 1\)

(2) \(BP : PC = 11 : 12\)

p82 問10

(1) \(BP : PC = 8 : 3\)

(2) \(BP : PC = 1 : 3\)

p82 問11

(1) \(BP : PC = 3 : 4\)

(2) \(AX : XP = 7 : 6\)

(3) \(\triangle XBC : \triangle ABC = 6 : 13\)

p83 研究問題

\(\triangle ABC\) において、\(\angle B, \angle C\) の二等分線の交点を \(I\) とする。

点 \(I\) から辺 \(BC, CA, AB\) にそれぞれ垂線 \(ID, IE, IF\) を下ろす。

\(I\) は \(\angle B\) の二等分線上の点であるから
\(IF = ID\) ……①

\(I\) は \(\angle C\) の二等分線上の点であるから
\(ID = IE\) ……②

①, ②より
\(IF = IE\)

よって、点 \(I\) は \(\angle A\) の二等分線上にある。

したがって、三角形の3つの内角の二等分線は1点 \(I\) で交わる。

4 三角形の辺と角の関係

p85 問12

(1) \(1 < x < 7\)

(2) \(1 < x < 7\)

p86 問13

(1) \(\angle B < \angle C < \angle A\)

(2) \(a < b = c\)

第2節　円の性質

1 円周角の定理とその逆

p89 問14

(1) \(\alpha = 33^{\circ}, \beta = 88^{\circ}\)

(2) \(\alpha = 24^{\circ}, \beta = 66^{\circ}\)

p89 問15

\(\angle BAC\)は、\(\triangle ACE\)の \(\angle A\)の外角であるから
\(\angle BAC =\angle AEC +\angle ACE = 45^{\circ}+25^{\circ}=70^{\circ}\)

また、仮定より
\(\angle BDC = 70^{\circ}\)

よって\(\angle BAC = \angle BDC\)

円周角の定理の逆により、4点 \(A, B, C, D\) は同一円周上にある。

2 円に内接する四角形

p91 問16

(1) \(\alpha = 110^{\circ}\)

(2) \(\alpha = 35^{\circ}\)

p91 問17

四角形 \(ABCD\) において
\(\angle A = 180^{\circ} – 104^{\circ} = 76^{\circ}\)

また、その対角の大きさを求めると
\(\angle C = 104^{\circ}\)

よって
\(\angle A + \angle C = 76^{\circ} + 104^{\circ} = 180^{\circ}\)

対角の和が \(180^{\circ}\) であるから、四角形 \(ABCD\) は円に内接するといえる。

p92 問18

(1)

線分 \(PD\) は \(\angle APC\) の二等分線であるから
\(\angle APD = \angle CPD\)

また、対頂角は等しいから
\(\angle CPD = \angle BPQ\)

よって\(\angle APD = \angle BPQ\) ……①

また、\(\triangle APD\) と \(\triangle BPQ\) において、弧 \(AB\) に対する円周角は等しいから
\(\angle PAD = \angle PBQ\) ……②

①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle APD \sim \triangle BPQ\)

相似な三角形の対応する角は等しいから
\(\angle ADP = \angle BQP\)

すなわち
\(\angle ADQ = \angle AQD\)

よって、\(\triangle ADQ\) は \(AD = AQ\) の二等辺三角形である。

また、線分 \(AP\) は \(\angle DAQ\) の二等分線であるから、頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する。

したがって
\(\angle DPQ = \angle DAQ\)

(2)　

(1)より、弧 \(DQ\) に対する円周角が等しいので、4点 \(A, P, Q, D\) は同一円周上にある。

円に内接する四角形の性質により、内角はその対角の補角に等しいから
\(\angle PQD = \angle PAD\)

また、四角形 \(ABCD\) は円に内接するから
\(\angle PAD = \angle PBC\)

よって
\(\angle PQD = \angle PBC\)

すなわち
\(\angle PQC + \angle PBC = 180^{\circ}\)

対角の和が \(180^{\circ}\) であるから、四角形 \(PBCQ\) は円に内接する。

したがって、4点 \(P, B, C, Q\) は同一円周上にある。

3 円の接線

p93 問19

\(AB = 6, BC = 8\)

p94 問20

【\(\angle BAT = 90^{\circ}\) の場合】

直線 \(AB\) が直径となるから
\(\angle APB = 90^{\circ}\) ……①

また \(\angle BAT = 90^{\circ}\) ……②

①、②より \(\angle BAT = \angle APB = 90^{\circ}\)

【\(\angle BAT\) が鋭角の場合】

直径 \(AC\) を引くと、\(\angle APC = 90^{\circ}\)
\(\angle APB = 90^{\circ} + \angle BPC\) ……①

また \(\angle CAT = 90^{\circ}\) だから
\(\angle BAT = 90^{\circ} + \angle BAC\) ……②

円周角の定理により
\(\angle BPC = \angle BAC\) ……③

①〜③より \(\angle BAT = \angle APB\)

p94 問21

(1)

\(\alpha = 50^{\circ}\)

\(\beta = 55^{\circ}\)

(2)

\(\alpha = 65^{\circ}\)

\(\beta = 45^{\circ}\)

4 方べきの定理

p95 問22

\(\triangle APT\) と \(\triangle TPB\) において

\(\angle APT = \angle TPB\)
\(\angle ATP = \angle TBP\)

であるから \(\triangle APT \sim \triangle TPB\)

したがって
\(PT : PB = AP : PT\)
\(PT^2 = PA \cdot PB\)

p96 問23

(1)\(x = \dfrac{9}{2}\)

(2)\(x = \sqrt{5}\)

(3)\(x = 3\)

p96 問24

直線 \(PO\) と円 \(O\) との交点のうち \(P\) に近い方を \(C\)、遠い方を \(D\) とする

方べきの定理により
\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)
\(= (PO – r) \cdot (PO + r)\)
\(= PO^2 – r^2\)

よって \(PA \cdot PB = PO^2 – r^2\)

p97 問25

それぞれの円において、方べきの定理により

\(PA \cdot PB = PQ \cdot PR\)

\(PC \cdot PD = PQ \cdot PR\)

よって \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)

方べきの定理の逆により

4点 \(A, B, C, D\) は同一円周上にある。

5 2つの円の位置関係

p98 問26

円 \(O\) ：\(8\)

円 \(O’\) ：\(2\)

p99 問27

(1)\(AB = 2\sqrt{10}\)

(2)\(AB = \sqrt{51}\)

p99 問28

\(8 < r < 16\)

第3節　作図

現在準備中です。

第4節　空間図形

1 平面と直線

p107 問34

(1) \(90^{\circ}\)

(2) \(90^{\circ}\)

(3) \(60^{\circ}\)

p108 問35

例題7(1)より

\(BC \perp \text{平面} AMD\) であり、

\(AH\) は平面 \(AMD\) 上の直線だから \(AH \perp BC\)

また、仮定から \(AH \perp DM\)

\(BC\) , \(DM\) は平面 \(BCD\) 上の交わる2直線であるから

\(AH \perp \text{平面} BCD\)

p108 問36

\(OP \perp \alpha\) より \(OP \perp l\)

また、\(PH \perp l\) だから平面 \(OPH \perp l\)

よって \(OH \perp l\)

p109 問37

(1) \(45^{\circ}\)

(2) \(60^{\circ}\)

(3) \(90^{\circ}\)

p109 問38

(1) 成り立つ

(2) 成り立たない

(3) 成り立つ

2 多面体

p111 問39

(1)\(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a^3\)

(2)\(\dfrac{\sqrt{2}}{3}a^3\)

p112 問40

凸多面体	頂点の数\(v\)	辺の数\(e\)	面の数\(f\)	\(v – e + f\)
(例)四面体	4	6	4	2
立方体	8	12	6	2
四角錐	5	8	5	2
五角柱	10	15	7	2
正十二面体	20	30	12	2
正二十面体	12	30	20	2

p113 研究問題

(1)

正方形の1つの角は \(90^{\circ}\) であるから

1つの頂点に集まる面は3のみである。

\(v = 4f \div 3\) , \(e = 4f \div 2\)

\(v – e + f = 2\) より

\(\dfrac{4}{3}f – 2f + f = 2\)

\(f = 6\)

よって正六面体である。

(2)

正五角形の1つの角は \(108^{\circ}\) であるから