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啓林館：α数学Ⅰ［061-901］
第4章 図形と計量
の問題解答を掲載しています。
オンライン家庭教師みなみが解いた解答を載せているため、間違いがある場合があります。
その際はお問い合わせやコメントで教えていただけますと幸いです。
第1節 鋭角の三角比
1 正弦・余弦・正接
P121 問1
(1) \(\sin A = \dfrac{5}{13}, \cos A = \dfrac{12}{13}, \tan A = \dfrac{5}{12}\)
(2) \(\sin A = \dfrac{1}{\sqrt{5}}, \cos A = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, \tan A = \dfrac{1}{2}\)
(3) \(\sin A = \dfrac{2}{3}, \cos A = \dfrac{\sqrt{5}}{3}, \tan A = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
P122 問2
(1) \(\sin 78^\circ = 0.9781\)
(2) \(\cos 9^\circ = 0.9877\)
(3) \(\tan 63^\circ = 1.9626\)
P122 問3
(1)約 \(68^\circ\)
(2)約 \(61^\circ\)
P123 問4
\(985\text{m}\)
P124 問5
\(107.7\text{m}\)
P124 問6
\(35.3\text{m}\)
2 三角比の相互関係
P126 問7
\(\sin A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}, \tan A = 2\sqrt{2}\)
P126 問8
\(\sin A = \dfrac{4}{5}, \cos A = \dfrac{3}{5}\)
P127 問10
(1) \(\sin 61^\circ = \cos 29^\circ\)
(2) \(\cos 83^\circ = \sin 7^\circ\)
(3) \(\tan 54^\circ = \dfrac{1}{\tan 36^\circ}\)
第2節 三角比の拡張
1 0°≦θ≦180°の範囲にある角θの三角比
P130 問11（三角比の表）
表
P132 問12
(1) \(\sin 160^\circ = \sin 20^\circ = 0.3420\)
(2) \(\cos 94^\circ = -\cos 86^\circ = -0.0698\)
(3) \(\tan 175^\circ = -\tan 5^\circ = -0.0875\)
2 三角比の相互関係
P133 問13
(1) \(\cos \theta = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}, \tan \theta = \dfrac{1}{2}\) または \(\cos \theta = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}, \tan \theta = -\dfrac{1}{2}\)
(2) \(\sin \theta = \dfrac{3\sqrt{5}}{7}, \tan \theta = -\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\)
P134 問14
(1) \(\theta = 45^\circ, 135^\circ\)
(2)\(\theta = 60^\circ, 120^\circ\)
(3) \(\theta = 120^\circ\)
(4) \(\theta = 150^\circ\)
(5) \(\theta = 0^\circ, 180^\circ\)
(6) \(\theta = 180^\circ\)
P136 問16
\(m = \sqrt{3}\)
P136 問17
(1) \(\theta = 60^\circ\)
(2) \(\theta = 135^\circ\)
第3節 正弦定理と余弦定理
1 正弦定理
P137 問18
\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)
P138 問19
\(a = 2R \sin A\)
P139 問20
\(R = \sqrt{5}\)
P139 問21
\(C = 45^\circ, 135^\circ\)
P139 問22
(1) \(a = 4\sqrt{2}\)
(2) \(B = 45^\circ\)
2 余弦定理
P141 問23
頂点Cから直線ABに垂線CHを下ろす。
直角三角形CHAにおいて、
\(\dfrac{CH}{b} = \sin(180^\circ – A) = \sin A\) より \(CH = b \sin A\)
\(\dfrac{AH}{b} = \cos(180^\circ – A) = -\cos A\) より \(AH = -b \cos A\)
\(BH = AH + AB = -b \cos A + c\)
\(\triangle BCH\)において三平方の定理より、
\(CH^2 + BH^2 = BC^2\)
\((b \sin A)^2 + (c – b \cos A)^2 = a^2\)
\(b^2 \sin^2 A + c^2 – 2bc \cos A + b^2 \cos^2 A = a^2\)
\(b^2(\sin^2 A + \cos^2 A) + c^2 – 2bc \cos A = a^2\)
よって\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A\)
P142 問24
\(b = 13\)
P143 問25
\(c = 3\)
P143 問26
(1)\(A = 30^\circ\)
(2)\(A = 135^\circ\)
P143 問27
(1)鈍角
(2)鋭角
P144 問28
鈍角三角形
3 正弦定理と余弦定理の応用
P145 問29
\(a = \sqrt{6}, B = 45^\circ, C = 75^\circ\)
P146 問30
\(\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 5 : 6 : 7\)
\(a=5k, b=6k, c=7k\)とおくと、最大辺は\(c\)なので、最大角は\(C\)。
\(\cos C = \dfrac{(5k)^2 + (6k)^2 – (7k)^2}{2 \cdot 5k \cdot 6k} = \dfrac{12k^2}{60k^2} = \dfrac{1}{5}\)
第4節 図形の計量
1 図形の面積
P149 問31
(1) \(S = 12\sqrt{3}\)
(2) \(S = 5\sqrt{2}\)
P150 問32
(1)\(S = 10\sqrt{2}\)
(2)\(S = \dfrac{3\sqrt{15}}{2}\)
P150 問33
\(AD = \dfrac{12}{7}\)
P151 問34
\(r = \dfrac{2\sqrt{14}}{7}\)
P152 問35
(1)\(AC = \sqrt{39}\)
(2)\(AD = 2\)
(3)\(S = \dfrac{45\sqrt{3}}{4}\)
2 空間図形の計量
P154 問36
\(S = \sqrt{5}\)
P155 問37
\(V = 6\sqrt{3}\)
P156 問38
\(450\sqrt{2}\,\text{m}\)
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